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16-Jul-2017 03:37

Eigenwerte charakterisieren wesentliche Eigenschaften linearer Abbildungen, etwa ob ein entsprechendes lineares Gleichungssystem eindeutig lösbar ist oder nicht.

In vielen Anwendungen beschreiben Eigenwerte auch physikalische Eigenschaften eines mathematischen Modells.

Während die exakte Berechnung der Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon für dreireihige Matrizen nicht so einfach ist, wird sie für große Matrizen meist unmöglich, sodass man sich dann auf das Bestimmen von Näherungswerten beschränkt.

Hierzu werden Verfahren bevorzugt, die sich durch numerische Stabilität und geringen Rechenaufwand auszeichnen.

Kennt man die Eigenwerte sowie ihre algebraischen und geometrischen Vielfachheiten (siehe unten), kann man die Jordansche Normalform der Matrix erstellen.

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Zu einem Eigenwert gehört also nicht nur ein Eigenvektor, sondern auch alle Vielfachen dieses Vektors.

Gilt für einen Eigenwert, dass seine algebraische Vielfachheit gleich seiner geometrischen Vielfachheit ist, so spricht man von einem halbeinfachen Eigenwert (aus dem englischen ‚semisimple‘).

Dies entspricht genau der Diagonalisierbarkeit der Blockmatrix zum gegebenen Eigenwert.

Der rote Vektor ist ein Eigenvektor der Scherabbildung, während der blaue Vektor dies aufgrund seiner Richtungsänderung nicht ist.

Da der rote Vektor nicht skaliert wird, ist sein zugehöriger Eigenwert 1.Dazu muss ein weiterer Eigenvektor zu diesem Eigenwert „erzwungen“ werden.



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